用了400年的地图居然是错的（图）
最近各大门户网站都在讨论一件事情，那就是我们用的平面的世界地图在一般情况下来说——都是不对的！比如南极洲的面积在平面地图上看起来比实际面积要大2.8倍。
看下面这张世界地图，南极洲看上去是那么大的一坨，看起来似乎比俄罗斯还要大。真实情况是，南极洲的面积是1400万平方公里，俄罗斯的面积是1700万平方公里。
这到底是肿么了嘛。那肯定是这个平面地图的面积表示是有错误的。
如果你想看到真实的南极洲的面积，请使用球面地球仪。
面积是一个几何量，受到拓扑的约束
球面与平面是不同的，这个明眼人都可以看出来。从数学语言来说，这种不同叫做拓扑结构不同。拓扑结构是一种整体的结构。比如一个自行车内胎与一个篮球的拓扑是不同的—— 篮球面上任意封闭曲线可以连续缩小为一点，自行车内胎上则不可以；篮球的内部空间任意两点可以直线连接，自行车内胎则不可以啊（数学上这叫做同伦群不一样呢）。但一个篮球与一个长方体的电脑机箱的拓扑是相同的——你可以通过连续的变形把一个篮球的表面变成一个电脑机箱的表面。
内胎≠篮球 篮球＝电脑机箱
那么，什么是“南极洲的面积”呢（如果这南极洲的土地也可以象澳洲那里自由买卖，这多出来面积该值多少钱呢），这个“面积”在数学上又是什么呢？面积在微分几何学中是一种由度量决定的局部的几何量。在数学上有一系列重要的定理，告诉我们整体与局部之间存在相互约束的关系。
画地图的时候，是有讲究的，一般情况下是要保持一个国家的边界的形状不变——比如说中国的形状象一只鸡，不能在地图上画出来变成一只猪的形状。
化妆品有“保湿”的功能，地图具有“保形”的追求。
从数学的角度来说，那就是存在“保形变换”与“保面积变换”这两种基本的路线之争。
首先我们来给大家介绍一下什么是保形变换（又叫保角变换或者共形变换，是数学系或者物理系的大学生都要学会的一个重要的数学概念，一般出现在复变函数这门课程中，，保形的英语是conformal）。
保形变换
什么是保形变换？
我们都知道地球是一个球面，那么怎么才能把一个球面上的面积对应到平面上呢？比如中国地图在球面上看上去象一只公鸡，面积是960万平方公里。我们画在平面上，平面地图可以看上去依然象一个公鸡——这叫做保形变换，这在数学上是可以实现的。
保面积变换
那么什么是保面积变换呢？
保面积变换，顾名思义，就是一种等积变换，比如夹在2条平行线之间的同底等高的三角形的面积是相等的，这就是保面积变换。
在微分几何里，当然要复杂一些，但思路是一样。
假设
是一个微分同胚映射，保面积变换保持曲面的面元。换句话说就是这个映射的拉回度量行列式的值等于初始度量行列式的值：
这个方程有无限多个解，也就是说保面积变换可以有很多了。比如我们把中国这个鸡形状可以变换为一只小兔子的形状，保持面积不变，这是很容易做到的呢。所以在画地图的时候，一般不追求保面积变换。
既保角又保面积？鱼与熊掌不能兼得！
既然如此，那为什么不能把地球仪上的中国既保形又保面积地投影到平面上呢？
这就有数学的限制了！
数学上有一个很强的结论：如果一个微分同胚既是保形变换，又是保面积变换，那么则此变换一定是等距的（也就是保度量的）。也就是说，地球仪上的南极洲投影到平面上，不可能既保持它的形状，同时保持它的面积（鱼与熊掌不能兼得）。 这是因为球面的度量与平面的度量之间不存在等距映射，这两者的度量是不同的。
所以，从这个意义上来说，南极洲要看起来象南极洲，在平面上画出它来就必须改变它的面积。
