e可赛艇！自然常数e为什么这么重要？

（本文来自久久自媒体）

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可赛艇

我们知道，天然界有一些十分主要的常数，如0，1，i，p，e等，它们的存在很大水平上影响了我们的进修与生活，今天我们就来深度挖掘一下，天然常数e为什么这么主要？

什么是天然常数e？

在回覆天然常数e为什么这么主要之前，我们首先要问，天然常数e是什么？简洁搜刮一下能够发现，，百度百科里面是这么注释的：

天然常数，是数学科的一种轨则。约为2.71828，就是公式为lim(1+1/x)x，x→∞或

lim(1+z)1/z，z→0，是一个无限不轮回小数，是为超越数。

这个注释给人的感受就是很高(zhuang)端(bi)，对于数学欠好的人而言只能用以下回响来形容：

切切没想到，几个月前，超模君横空出生，仅用一篇文章，就通俗易懂地说明了e的寄义，即使是我这种数学残疾看曩昔也能尽收眼底。

这里以一个银行存款的例子简洁描述一下：

我们在银行存款是有利息的，而存款赚到的利息又能够持续和本金一路，赚取更多的利息。当然，银行不是慈善家，它们结算利息的频率很低，要每一年甚至三年才结算一次，也就是说，在这一年或许三年的时间里，已经获得的利息并不克帮我们赚取更多利息。

下面考虑一种幻想状况，也就是假定有如许一家银行，它一年的存款利率是100%(简记为1)，并许可我们自由选择结算利息的次数。若是我们存入银行1块钱，那么我们一年最多可以赚几多钱呢？

(1)若是只在岁尾结算一次利息，因为一年的利率是1，那么一年后我们能够连本带利获得2块钱。

(2)若是我们要求每半年就结算一次利息，因为半年的利率是1/2，那么一年后我们能够连本带利获得2.25块钱。

(3)若是我们要求每一个月就结算一次利息，因为一个月的利率是1/12，那么一年后我们能够连本带利获得2.61块钱。

(4)能够看到，利息结算次数越多，岁尾获得的收入也就越多。若是我们脑洞大开，要求银行每时每刻为我们结算利息，也就是说结算利息的次数为无数次，那么我们可否获得无限无尽的收入，实现数钱数到手抽筋的妄想呢？

很遗憾，这个是弗成能的！因为我们最终获得的收入其实就是下面这个式子，

而数学家的较量已经表明，这个式子的值其实是有限的，其巨细为2.718281828…，是一个无限不轮回小数，为了使用轻易，我们就用e来代表它。所以，e就是复利的极限，或许更广义地说，应该是增进的极限。

为什么ex和lnx这么常见？

然而，即使领略了什么是天然常数e，作为被高档数学期末测验和研究生测验虐得狼狈万状的我，照样会冒出以下疑问：

e不就是增进的极限吗，你欠好好考我求极限，净考我关于ex和lnx的导数积分是什么意思？

从新翻阅以前的资料我才发现，其实这里涉及到了这两个函数的特别性质。

首先是指数函数。众所周知，指数函数在我们实际世界中具有主要感化(固然本人并没有感受到)，那么我们便弗成避免地需要对指数函数进行求导运算。

指数函数y=ax的导数为

能够看到，要想获得y=ax的导数，需要求得后背的极限，可是若是直接令△x→0，是无法获得极限的，怎么办？这里我们转换一下脑筋，让a△x-1=1/n，那么就有△x=loga(1+1/n)，这个时候就有了

哈哈，这个时候我们发现，e的界说派上用场了。去掉憎恶的极限符号，我们能够获得

对于有强逼症的人来说，后背谁人数字看着真的好不舒服，啥时候能把谁人数字去掉啊？谜底就是，当a=e的时候，因为这个时候数字正好酿成了1。最终，我们把这个特别的指数函数单拎了出来，使得其区别于另外的指数函数。

既然说到了指数函数，那么不得不提的就是它的另一半y=logax。两个不光是生成的一对儿，并且y=logax的主要性并不亚于y=ax，我们来看一下y=logax的导数。

能够看到，若是我们也让a=e，常数logae便等于1，此时对数函数的导数形式也最简洁。所以说，当a=e时，无论是指数函数照样对数函数，其导数形式都是最简洁的。

此外，人们为了让关于e的对数函数区别于另外对数函数，甚至还给它此外起了个名字，叫天然对数，并简洁记为y=lnx，这也充裕凸显了天然对数的主要性。

这个时候或者也有人要问了，万一我要用的就是y=2x或许y=log2x呢？没紧要，我们能够给它整下容，酿成y=exln2或许y=log2elnx，较量体式并没有发生素质转变。

ex和lnx的实际意义

经由以上剖析，我们能够看到，引入关于e的指数函数与对数函数是因为其对应的导数具有极其简洁的形式。岂非欧拉等那些大数学家已经预料到如今的我们测验压力太大，为了让我们在测验的时候更轻易进行求导较量，大动干戈引入了天然常数e?那么…从来没有感受到本身这么主要呢！

哈哈，显然不是那样的！

其实，之所以频仍显现关于e的函数，是因为我们实际世界中有太多问题具有以下特点：即一个量的转变与自身巨细相关。而凡是这一类问题，都迫使我们必需引入关于e的指数函数或对数函数。

在生物范畴，一个简洁而又经典的问题就是幻想情况下的种群数量转变纪律。种群数量越大，种群的增进速度也就越快，种群数量的转变率是和当前种群数量y相关的，于是能够简洁描述为

我们已经知道，导数等于自身的函数就是y=et。然则因为右边存在一个比例常数l，所以我们能够假定种群数量y随时间t的转变纪律相符通用关系y=aebt+c(a≠0)，从而有

能够发现，要使摆布两头相等，需要c=0，b=l，所以种群数量的转变纪律相符y=aelt。我们知道，实际中的资源弗成能无限无尽，种群数量也弗成能无限增进，可是上述纪律却为我们研究早期某一种群数量的转变供应了一个精巧的近似。

此外，放射性核素的衰变同样相符上述纪律。放射性核素的衰变速度与当前核素的数量N相关，也就是有

最终也会导致放射性核素数量的转变相符N=N0e-lt。

我们再来看一下弹簧振子的活动。弹簧振子的受力和它自身的位移成正比，而且与活动偏向相反。凭据牛顿第二定律，有

我们已经知道，x=et的导数等于自身，那我们当然能够进一步知道，其二阶导数、三阶导数甚至更高阶的导数仍然是它本身。所以这里我们当然照样能够假定x=aebt+c(a≠0)，从而有

能够发现，要使摆布两头相等，需要c=0，b2=-k/m，也就是

所以弹簧振子的活动相符

能够看到，引入关于e的指数函数与对数函数后，实际中好多问题都获得了顺利求解。当然，除了以上一些问题，还有一些问题，如LC振荡电路、原子轨道等，对这些问题的求解都必需引入天然常数e。所以说，引入天然常数e是人类熟悉天然现象的必然选择，而反过来，天然常数e对人类文明的成长也发生了重大影响。在此，我们不得不信服那些具有深刻洞察力并勇敢引入天然常数e的数学前驱。

e的一些有趣性质

此外，跟着e的普遍应用，人们还发现，e的性质远远不止上述所说起的那么简洁，它还具有好多另外有趣的性质。

好了，e的故事讲完了。简洁总结一下就是，人们在生活中经常碰到一个量的转变与自身巨细相关的问题，为求解这类问题必需引入关于e的指数函数与对数函数，并界说e=lim(1+1/x)x(x→∞)，而e的界说表明其实这个值就是增进的极限。

小我感觉我们学数学时之所以会感应疑心，是因为我们的先生只给我们讲述数学理论，却并没有和实际中的一些实际问题连系在一路。而改善这一局势最好的方式就是我们本身要勤于思虑，擅长总结，争夺在教育下一代的时候不要让他们发生与我们沟通的疑心。

本文作者：王艳宁，男，26岁，西安交通大学在读博士，数学物理喜爱者，崇敬Dr.SheldonCooper！