数学中最神秘的难题——蒙蒂霍尔问题，很多数学博士都被蒙蔽了

（原文来自www.jj00.com）

想象如许的场景：你置身于一个色彩艳丽、灯光亮亮的游戏节目现场。在你眼前是三扇完全沟通的门。一位游戏节目主持人敷陈你，在个中一扇门后背是一辆极新的跑车。在此外两个的后背，是一些相当憎恶的六畜。游戏节目主持人让你选择一扇门……

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情形听起来相当简洁，直到游戏节目主持人打开个中一扇门，露出一只山羊。然后他问你要不要换门……

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固然这个选择看起来似乎能够用一个简洁的50/50选择来描述，但事实却远不是那么直观，它是数学中最险恶、最具盘据性的难题之一的根蒂。

电视节目《让我们做笔生意》(Let'smakeaDeal)中谁人花哨的场景让人难以相信，数学中“最棘手的问题”之一就来自这个演播室。

2017年9月30日，美国传奇电视主持人蒙蒂·霍尔在比弗利山庄的家中作古，享年96岁。固然他主持过几部颇受迎接的游戏节目，包罗《让我们做个生意》、《一刹那》和《连锁信》等，还建造过好多其他节目，但霍尔的遗产最终或者照样在数学范畴，而不是娱乐范畴。这是因为他与“蒙蒂霍尔问题”或“留或换的逆境”的关联，这是一个基于他的节目“让我们做个生意”的概率难题，它在整个90年月在数学家和统计学家中引起了很大的争议，因为它的素质是反直觉的。

1975年，在一项统计研究中首次提出了蒙蒂霍尔问题。后来，玛丽莲·沃斯·莎凡特在她的报纸专栏“扣问玛丽莲”中，使蒙蒂霍尔问题风行起来。这个问题让你站在“让我们做个生意”的设想参赛者的立场上，挑战你使用数学来确保你拿了一个明星奖，同时避免了两个傻瓜奖。

让我们做个生意：蒙蒂·霍尔问题

你面临三个门，让我们标记它们A,B和C。个中两个门后背是一只山羊，另一个门后背是一辆顶级跑车。很显着，除非你很奇异，不然你想赢车。让我们给每扇门分派概率，很轻易看出，每扇门成功的机会是1/3。你能够选择哪扇门，你选择A门。不管你选择哪扇门，在这个阶段，每扇门都有或者隐藏汽车。

到今朝为止很简洁。

这时，我们的主人蒙蒂打开了另一扇门，好比说C，露出了一只山羊。从这件事中我们能够认识到，在这个阶段，主人老是打开一扇没有选择的门，而这扇门老是会露出一只山羊。

如今，它变得有趣了；蒙蒂给了你一个选择。你能够对峙你最初的选择(A)，也能够选择剩下的未打开的门(B)。

对峙照样换一个呢？

大多数人在此阶段得出的结论是，他们面临与最初供应的选择雷同的选择，只是此次，准确选择汽车的几率平均分布在其余两个门上。若是你选择换，您将有50%的成功机会，若是您对峙选A，也有50%的成功机会，这只是常识，对吧？

玛丽莲·沃斯·莎凡特分歧意这个看似常识的谜底，她指出，若是参赛者把他们的选择换到另一扇门（在我们的场景中是B），他们更有或者博得竞赛。事实上，若是他们改变选择，他们开超等跑车脱离的或者性会增加一倍。这在她的读者中引起了气愤。成千上万的读者写信来指摘或改正沃斯·莎凡特，个中很多复原来自数学和科学博士。在后一篇专栏文章中，沃斯·桑特指出，在这件事上，92%的信件否决她。

一些选择的回应如下：

“你错了，但阿尔伯特·爱因斯坦在认可本身的错误后，在人们心中博得了更贵重的地位。”——弗兰克·罗斯博士。密歇根大学

“我一向是您专栏的忠厚读者，直到如今，我还没有任何来由猜忌您。然而，在这件事上(我的确是这方面的专家)，你的回覆显然与事实不符。”——詹姆斯Rauff博士。密歇根大学

“我相信你会收到很多关于这个话题的信件，从高中和大学的学生。或许你应该保留一些地址来匡助未来的专栏。罗伯特·史女士博士。乔治亚州立大学

“你对游戏节目问题的回覆是完全错误的，我进展这场计较能引起公家对数学教育中严重的国度危机的存眷。若是你能认可你的错误，你将为解决一个可悲的局势作出扶植性的进献。需要几多气愤的数学家才能让你改变主意？雷波波，博士学位。乔治敦大学

“你犯了一个错误，但要看到积极的一面。若是所有这些博士都错了，这个国度就会陷入严重的麻烦。”埃弗雷特哈曼博士。美国陆军研究所

然则他们错了，玛丽莲是对的。这是为什么？

蒙蒂·霍尔解决方案

解决蒙蒂霍尔问题有多种方式，最简洁的方式是首先确定为什么在两扇门后找到汽车的机会不是直接对半分。为了做到这一点，让我们回到C门打开之前，里面是一只非常有趣的小山羊。此次我们不光要给出汽车在门后的概率(用黑色标记)，还要给出汽车没有在门后的概率(用红色标记)。

在这一点上，转换似乎不该该有吸引力。当蒙蒂打开门C时，一切都邑改变。此动作意味着汽车仍然有2/3不在门A后背。这意味着汽车有2/3机会在B或C后背。门C的打开并没有影响与门A相关的概率，然则影响了与门B相关的概率。这几乎就像门B必需承载先前由B和C持有的悉数“概率负载”一般。这是因为C不是随机选择的。汽车有2/3的机会位于B和C配对之后，这由B承担。让我们来看一下以图解体式将B和C透露为具有结合概率的一对。

如今让蒙蒂再次打开C门，看看这对概率有什么影响。

留给你的选择如下。A门有1/3的成功几率和2/3的失败几率。B门有2/3的成功几率和1/3的失败几率。是以，若是参赛者将车门从A换成B，那么他有两倍的机会选中汽车。

照样不服气？让我们考虑一个更极端的情形，游戏节目《让我们生意》来自另一个世界，基本的区别门更多了！

蒙蒂·霍尔问题的百门解决方案

在这个问题的假设版本中，参赛者不是从3个门中选择，而是从100个门中选择，为了轻易起见，，我们将把这些门标记为1-100，并说我们的参赛者选择了1号门。她有1/100的机会选择隐藏汽车的门，有99/100的机会不选择汽车。我们用一个简化的图来透露它。同样，黑色透露选择汽车的机会。红色的机会，不选择的车。

如今，蒙蒂在第2-100号门之间选择一个门打开，并露出长胡子的山羊，直到只剩下两扇门。1号门是她最初选择的，2号门是最后一个没有选择的。这是今朝的赔率。

正如你所看到的，在这种情形下，几乎能够一定的是，当蒙蒂要求这名选手“对峙或转换”时，他们对峙是愚蠢的。最初选择成功的几率是1/100，而转换选择成功的几率是99/100。

但我们能证实这一点吗？让我们脱离这个电视演播室，回到我们最初的例子去寻找谜底。

证实蒙蒂霍尔问题的解决方案

验证参赛者可否成功开门的最简洁方式之一是使用称为贝叶斯定理的数学公式，该数学公式用于剖析前提概率，即在发生另一事件的情形下事件发生的概率为已发生。

贝叶斯定理许可我们界说概率事件(A)在第二个事件(B)发生的情形下发生，等于事件B发生的概率前提是事件A已经发生了。乘以事件A发生的概率除以事件B发生的概率。

凭据这个公式，B门的成功率为2/3，正如上文和·沃斯·莎凡特展望的那样。同时，最初的实验究竟也证实了沃斯·莎凡特所展望的模式，这将使你们傍边的实验主义者感应愉快。若是你喜欢更正式的测试，麻省理工学院在2005年进行的一项研究发现，转换门的受试者成功的几率为66.6%，而对峙本来选择的受试者成功的几率只有33.3%。

本身试试

幸运的是，你能够很轻易地本身运行蒙蒂霍尔问题的模拟，尽管若是您在客堂中进行模拟，我建议您不要使用山羊。以三个碗和一个玩具车为例，当然还有一个实验对象。不要让测试对象知道测试的的目的。能够在谈论区留言测试究竟哦！

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