克莱因瓶为什么装不满：四维空间的样子与克莱因瓶

　　在日常生活中，我们经常会碰到一些非常神奇的事情，不仅如此在科学上，也有一些非常神奇的事情，比如数学中的来克莱因瓶，它是一种不可定向的封闭曲面。整体上来说，没有内部和外部之分。他在刚开始就是因为被一个叫做克莱因的数学家提出，所以就用这位伟人的名字给他命名。那么他究竟是用了什么样的原理，导致它永远不会被液体充满呢？

（原文来自www.jj00.com）

（自媒体久久自媒体）

　　其实理论上，这个东西在三维空间中只能做侵入模型，它就是一个有洞口的瓶子底部，然后将这个洞延长瓶子的颈部，接着扭曲地进入它的内部，在和这个底部的洞相连接。听起来非常复杂，如果你真的看到了实物你就会感觉它的构造非常简单。但是他和我们平常用来喝水的杯子却不一样，这个物体没有所谓的边，表面也不会终结，它也不像气球一样。如果有一只虫子飞了进去，会直接从内部飞到外部而不会穿过它的表面，这是一个非常神奇的现象。那么我们说了三维空间，接下来再说一下二维空间，他在这个空间上是可以在任意方向无限前进的，但是只有两个特定方向才会回到所谓的原点，并且只有在其中一个方向上回到原点之前会经过一个叫做逆向原点的地方，，可以说这种构造是真正理想的三维空间中二维可无限拓展的空间模型。 （本文来自久久自媒体）

　　在理论上，它可以在二维空间上下朝任何一个方向前进，但是结果都是一样都会经过一个逆向原点，然后再回到原点。因此如果你想制作这样的一个模型，你就需要在四维空间上对三维模型进行扭曲，当然所做的扭曲并不是随便的，而是要到达一定的位置和方向才可以。这个时候很多学者就长造出来一门新学问，也就是数学家们主要用来研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律，然而这个克莱因瓶和莫比乌斯带就变成了这个学问中最有趣的问题。毕竟这种东西，它能够实现非常有趣的现象，而且这种现象现在很多人也无法得出让世人们能够理解的答案。

　　四维空间的样子与克莱因瓶

　　这是一个很严肃正经的数学问题。

　　我这里给出严格数学意义上的归纳。你看完之后，会发现其实四维空间没有你想象中的复杂，要理解四维的球形并不是不可能。

　　你看不到不代表它不存在，更不代表我们想象不到；18世纪被提出时就被认为无稽之谈的四维几何在爱因斯坦提出相对论之后，越来越有实际应用价值。

　　在这里并没有引入除公设公理之外任何的假设，整个数学大厦的构建依靠的基础就是如此简单，高维空间也不例外。如果你能够在一张二维纸上具象三维物体，我就能引导你在一本三维“书”上具象四维。

　　某维空间的球(Hypersphere)可以看成该维度空间内所有到某一固定点小于等于相同距离的点的集合。

　　空间内的封闭可以是不规则图形，如果用最简单的圆形封闭，本句可作为该问题的答案，但要如何理解呢？四维空间里，就算是最简单的图形，解释起来也要花点功夫。

　　开始前，首先要明确四维空间的定义。

　　少数人认为“第四维就是时间”，是的，这是四维时空的第四维，但不是四维空间的第四维。

　　Part 1：关于四维球

　　为方便记述，记该点为原点，建立欧氏几何直角坐标系（其实建立球坐标系描述要简单得多，但为更多人所理解，此处用大家熟悉的欧几里得空间建系）。相同距离设为1。在n维空间就有n个任意两个互相垂直的坐标轴。

　　所以在一维空间，球的边缘只有两个点，-1和1。

　　没错，一维球在我们三维空间来看就是一个线段，虽然可能感觉很奇怪，但从定义上（x2<=1的实解）讨论，就是这样，>

　　在二维空间，我们可依勾股定理公式得出所有到原点相同距离的点的集合，x2+y2=12，得到的是无数个实数解，这些点形成二维空间的封闭图形，图形内的点在二维空间内无法不通过此图形而越到外面。

　　在三维空间，相同道理，x2+y2+z2<>

　　那么请看下图，点P在三维坐标系的位置，屏幕里图形的8条棱实际在一个平面的六边形上。但这时候你的想象力已经把这个图形勾勒成一个立方体了，相信所有生活在三维空间的我们都可以做到这一点。现在请把你的手指垂直立在下图原点，你的手指与屏幕垂直，也与该三维膜垂直。