克莱因瓶为什么装不满：四维空间的样子与克莱因瓶(2)

　　在四维空间，为了找出在四维空间内所有到原点相同距离的集合，我们要建立一个方程来确定这些点的集合，这个方程为x2+y2+z2+w2=1。推理方式和三维球体相同，可以轻易理解此方程的可以直接跳过下面的推理。

（原文来自www.jj00.com）

　　因为三维空间在第四维（你手指的方向）没有厚度，我们把它看成在屏幕上，所以我们也把它叫做三维膜。 （自媒体www.jj00.com）

　　假设新维度的坐标轴为w轴，一般习惯叫它w轴（别问我，我也不知道为什么，只知道笛卡尔在建立坐标系的时候，如果坐标轴的顺序如果是z y x w v …的话，我们研究四维的强迫症就不会犯了）。假设将上图点P向w轴方向平移w，记为P'，则其位置为（x,y,z,w）。P'离xyz空间的距离为w，现在我们得到一个三角形，直角边之一为PP'，另一个直角边为OP，斜边为半径OP'。此时斜边长即为P到原点的距离，也是四维球的半径。

　　已知半径为1，则通过勾股定理可以得到d2+w2=12。

　　我们又知道d2=x2+y2+z2，所以x2+y2+z2+w2=1

　　注意w轴在这里并不特殊，因为任意两个坐标轴都是相互垂直的。我们也可以把x轴或者y，z轴单独提取出来，得到相同的结论，因为不管从哪个轴的方向看，欧几里得四维空间的坐标轴结构都是相同的，所以此公式也是如此，xyzw可以随意替换。

　　通过这个方程我们得到一个庞大的集合，也就是一个四维球体(4-sphere)，更高维球体也是如此推理得到。

　　可能有些同学会问，就算你这么说，我还是想象不出来高维球到底是什么样子啊。

　　1.2 关于如何在脑中想象四维空间

　　又是一个新的问题了。各位请打开你们的脑洞，最好换张显卡，我们没有关于四维空间的任何实际经验，这很可能是我们一生中最难想象的东西。建议你在想象四维球之前先想象超立方体，这很重要，因为就算你能想象超立方体，想象四维球也是困难的。

　　相信大家感觉最困难的是如何想象出一条坐标轴与现有三维空间的三个维度相垂直，这也是第一步。因为在我们想象的时候，总是有意无意地把这条第四维坐标轴放进了我们的三维空间里面，我在刚学的时候也是这样，这是个很容易或者必定会走入的误区，然后建出个斜角坐标系。

　　我先列举几条关于这条坐标轴的几何属性，避免大家把这条直线禁锢在自己熟悉的三维空间内。

　　1: w坐标轴与原有xyz空间仅有一个交点

　　2: w坐标轴垂直于xyz空间（一条线垂直于一个空间是指，这条线垂直于这个空间里的每条线，每个面）

　　3: w坐标轴可与xy平面构成一个三维空间，一个垂直于z轴的空间。

　　4: 经过任意一点，必定可找到4条相互垂直的直线，这四条直线必定可经过xyzw轴旋转平移得到。

　　5: wxyz 可以任意互换，所有描述依然成立

　　当w=1，函数解为x=y=z=0，就是说这个四维球体在w=1的三维膜上只有一个点(0,0,0,1)

　　当w稍小于1时，xyz的函数解开始形成一个三维球。

　　…

　　当w=1/√2，函数解为x2+y2+z2=1/2，即一个半径为1/√2的三维球体，在十六个象限中的第一象限的其中一个点可以表示为（1/√8，1√8，1/2，1/√2）

　　…

　　当w=0，函数解为一个半径为1的三维球体

　　…

　　w为负时偶函数对称。

　　在四维空间，三维空间也叫三维膜。

　　这个膜的意思指无厚度，而不是指三维空间里的一个平面切片。三维空间是四维空间的一个切片。一个三维物体只有长宽高，不管你在四维空间中如何摆放，总有一个方向，它是没有厚度的。